Conditional Probability dan Aturan Perkalian

1. Chap 5- 1 Konsep - konsep Probabilitas

2. Konsep-konsep probabilitas Pengertian Probabilitas (Obyektif: klasik & empiris, Subyektif) Istilah-istilah dalam probabilitas: eksperimen, hasil, kejadian, mutually exclusive, collectively exhaustive, independent, permutasi, dan kombinasi. Aturan probabilitas: aturan penjumlahan & aturan perkalian Penggunaan Diagram pohon untuk menyusun & menghitung probabilitas Chap 5- 2

3. Definisi Probabilitas adalah ukuran dari kemungkinan bahwa sebuah peristiwa di masa depan akan terjadi. P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi  Nilai probabilitas hanya antara 0 dan 1 atau Chap 5- 3 0 ≤ P(A) ≤ 1  Sebuah nilai mendekati nol menunjukkan kemungkinan tidak terjadi. Nilai mendekati satu berarti kemungkinan terjadi.  Pendekatan penentuan probabilitas: 1. Probabilitas Obyektif: klasik dan empiris 2. Probabilitas Subjektif.

4. Istilah penting dalam probabilitas Chap 5- 4 Eksperimen (Experiment): proses yang menghasilkan satu kejadian dari beberapa pengamatan. Misal: Melempar sebuah dadu Hasil (outcome): keluaran atau output tertentu dari sebuah eksperimen. Misal: Dari eksperimen melempar dadu, hasil yang mungkin adalah munculnya angka 1, 2, 3 ,4, 5 atau 6. Kejadian (Event): kumpulan dari satu hasil atau lebih dari suatu eksperimen. Misal: Kejadian yang diamati dari melempar dadu adalah munculnya angka genap: 2, 4 dan 6.

5. Probabilitas Klasik Probabilitas klasik berlaku jika hasil-hasil dari sebuah eksperimen semuanya memiliki peluang yang sama. Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum eksperimen dilakukan karena jumlah keseluruhan hasil telah diketahui. Probabilitas Kejadian = Jumlah hasil yang diharapkan Jumlah seluruh hasil yang mungkin Misal: Dari eksperimen melempar dadu, berapa probabilitas muncul angka 5? P(5)= 1/ 6 Chap 5- 5

6. Probabilitas Empiris Probabilitas empiris: Probabilitas sutau kejadian yang muncul merupakan proporsi atau bagian dari kejadian serupa yang telah terjadi sebelumnya. Probabilitas Empiris = Jumlah kemunculan suatu kejadian Jumlah seluruh pengamatan Pendekatan probabilitas empiris didasarkan pada “Hukum Jumlah Besar” (Law of Large Number) yang menyatakan bahwa semakin banyak pengamatan akan menghasilkan perkiraan probabilitas yang lebih akurat. Chap 5- 6

7. Chap 5- 7 Contoh 1 Selama 5 tahun mengajar, Prof. Budi telah memberi nilai A pada 186 mahasiswa dari total 1200 mahasiswa yang pernah diajarnya. Berapa probabilitas seorang mahasiswa bisa memperoleh nilai A pada semester ini? Ini adalah contoh probabilitas empiris. Untuk menghitung probabilitas memperoleh nilai A: 0.155 P(A) = 186 = 1200 Hasil ini juga disebut “Probabilitas tanpa syarat” (Unconditional probability) Seringkali yang dicari adalah probabilitas dapat nilai A untuk siswa yang belajar l10 jam atau lebih per minggu. Hal ini disebut “Probabilitas Bersyarat “ (conditional probability). P(A | belajar 10 jam atau lebih per minggu)

8. Probabilitas Subyektif Probabilitas subjektif didasarkan hanya pada informasi yang tersedia, berdasarkan perasaan subyektif. Misalnya: Memperkirakan kemungkinan bahwa perekonomian Indonesia akan tumbuh 5% pada tahun ini. Memperkirakan kemungkinan bahwa Anda akan menikah sebelum usia 30 tahun. Chap 5- 8

9. Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive events Mutually exclusive (tidak terikat satu sama lain/saling lepas): munculnya satu kejadian, meniadakan kejadian yang lain. Tidak ada kejadian lain yang mucul pada waktu yang bersamaan. Collectively exhaustive (kumpulan lengkap): Kumpulan semua kejadian yang mungkin. Dalam satu eksperimen harus ada satu kejadian yang muncul. Independent (saling bebas): munculnya satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian lain. Untuk dua kejadian yang berbeda waktunya. Chap 5- 9

10. Chap 5- 10 Contoh 2 Sebuah dadu dilempar sekali. Budi hanya perduli dengan munculnya angka genap, yaitu, 2, 4, 6. Arman hanya perduli dengan munculnya angka kurang dari atau sama dengan 3, yaitu, 1, 2, 3. Maria hanya perduli dengan munculnya angka 6. Sonia hanya perduli dengan munculnya angka ganjil, yaitu 1, 3, 5. Sebuah dadu dilempar dua kali. Dani hanya perduli dengan munculnya angka genap pada lemparan pertama, yaitu, 2, 4, 6. Sarah hanya perduli dengan munculnya angka genap pada lemparan kedua, , yaitu, 2, 4, 6.

11. Definisi continued Eksperimen: Melempar dadu. • Hasil: Hasil yang mungkin adalah angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian/event:  Bagi Budi: munculnya bilangan genap, yaitu, 2, 4, 6.  Bagi Arman: munculnya angka kurang dari atau sama dengan 3, yaitu, 1, 2, 3.  Untuk Maria: munculnya angka 6.  Untuk Sonia: munculnya angka ganjil, yaitu 1, 3, 5. Chap 5- 11

12. Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive events Mutually exclusive atau tidak terikat satu sama lain. Kejadian untuk Budi dan Arman tidak mutually exclusive (saling terikat) - keduanya ada angka 2. Kejadian untuk Budi dan Maria tidak mutually exclusive (saling terikat) - keduanya mengandung 6. Kejadian untuk Arman dan Maria mutually exclusive (tidak saling terikat) - tidak ada angka yang sama. Kejadian untuk Budi dan Sonia mutually exclusive (tidak saling terikat) - tidak ada angka yang sama. Chap 5- 12

13. Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive events Independent atau saling bebas: munculnya satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian lain. Chap 5- 13 P(A&B) = P(A)*P(B) Tidak independent atau tidak saling bebas: Antara kejadian Budi & Arman. Antara kejadian Budi & Maria. Antara kejadian Arman & Maria. Antara kejadian Budi & Sonia. Independent: Antara kejadian Dani & Sarah: P(Dani & Sarah) = P(Dani)*P(Sarah)

14. Mutually Exclusive, Independent and Exhaustive events Chap 5- 14 Collectively exhaustive atau Kumpulan Lengkap: Kumpulan semua kejadian yang mungkin. Kejadian untuk Budi (angka genap) & kejadian untuk Sonai (angka ganjil) adalah collectively exhaustive atau kumpulan lengkap semua hasil yang mungkin terjadi. Kejadian untuk Budi (angka genap) & kejadian untuk Maria (angka 6) bukan collectively exhaustive atau bukan kumpulan lengkap.

15. Struktur Probabilitas dua kejadian yang tidak saling terikat (bukan mutually exclusive) Chap 5- 15 Union = “atau” = gabungan. Simbol: U. Intersection = “dan” = irisan. Simbol: ∩. Contoh: Jika diketahui X = {1, 4, 7, 9} dan Y = {2, 3, 4, 5, 6}, maka XUY = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} X∩Y = {4}

16. Chap 5- 16 Aturan Probabilitas Aturan penjumlahan khusus : Berlaku untuk dua kejadian A dan B yang mutually exclusive (tidak saling terikat), maka probabilitas kejadian A atau B adalah jumlah probabilitas keduanya : P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A) + P(B)

17. Chap 5- 17 Contoh 3 Emprit Airways mengumpulkan data penerbangan dari Surabaya ke Jakarta: Kedatangan Frequency Lebih Awal 100 Tepat Waktu 800 Terlambat 75 Dibatalkan 25 Total 1000

18. Chap 5- 18 Contoh 3 continued Jika A adalah kejadian pesawat datang lebih awal, maka P(A) = 100/1000 = 0.1. Jika B adalah kejadin pesawat terlambat, maka P(B) = 75/1000 = 0.075. Probabilitas pesawat datang lebih awal atau terlambat : P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0.10 + 0.075 =0.175. Kedatangan Frequency Lebih Awal 100 Tepat Waktu 800 Terlambat 75 Dibatalkan 25 Total 1000

19. Chap 5- 19 The Complement Rule Aturan Komplemen (Complement rule) dipergunakan untuk menentukan probabilitas suatu kejadian dengan mengurangi probabilitas tidak muculnya kejadian tersebut dari 1. Jika P(A) adalah probabilitas kejadian A dan P(~A) adalah komplemen dari A, P(A) + P(~A) = 1 atau P(A) = 1 - P(~A).

20. The Complement Rule continued Diagram Venn mengambarkan aturan komplemen, sbb: Chap 5- 20 A ~A

21. Chap 5- 21 Contoh 4 Dari Contoh 3. Gunakan aturan komplemen untuk menentukan probabilitas pesawat lebih awal (A) atau terlambat (B). Kedatangan Frequency Lebih Awal 100 Tepat Wakt u 800 Terlambat 75 Dibatalkan 25 Total 1000  P (A atau B ) = 1 - P (C atau D )  JikaC adalah kejadian pesawat datang tepat waktu, maka P(C) = 800/1000 = 0.8.  JikaD adalah kejadian pesawat dibatalkan, maka P(DP (A or B) )= =2 51/ 1- 0P0(0C =o r0 D.0)2 5. = 1 - [0.8 +0.025] =0.175

22. Chap 5- 22 Contoh 4 continued P(A atau B) = 1 - P(C atau D) = 1 - [0.8 +.025] =0.175 C.8 D. 025 ~(C or D) = (A or B) 0.175

23. Chap 5- 23 Aturan Penjumlahan umum Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak mutually exclusive, maka P(A atau B) adalah: P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

24. Chap 5- 24 Aturan umum Penjumlahan Diagram Venn menggambarkan aturan ini: A dan B A B

25. Chap 5- 25 Contoh 5 Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya: Stereo 320 Both 100 TV 175

26. Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya. Chap 5- 26 Contoh 5 continued Jika satu siswa diambil secara acak, berapa probabilitas seorang siswa hanya memiliki stereo, hanya memiliki TV, dan memiliki stereo dan TV? P (S ) = 320/500 = .64. P (T ) = 175/500 = .35. P (S dan T ) = 100/500 = .20.

27. Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya. Chap 5- 27 Contoh 5 continued P (S ) = 320/500 = .64. P (T ) = 175/500 = .35. P (S dan T ) = 100/500 = .20. Jika satu siswa diambil secara acak, berapa probabilitas seorang siswa memiliki stereo atau TV? P (S atau T ) = P (S ) + P (T ) - P (S dan T ) = .64 +.35 - .20 = .79.

28. Chap 5- 28 Probabilitas Gabungan (Joint Probability) Probabilitas Gabungan (joint probability) mengukur kemungkinan dua atau lebih kejadian terjadi bersama-sama. Misalnya: dalam contoh 3, kejadian seorang siswa memiliki stereo dan TV di kamarnya. P(dadu=5 dan dadu=6) =0 karena dua kejadian tersebut mutually exclusive.

29. Chap 5- 29 Aturan Perkalian khusus Aturan Perkalian Khusus berlaku untuk dua kejadian A dan B yang independent atau saling bebas. Dua kejadian A dan B independent atau saling bebas jika munculnya salah satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas munculnya kejadian yang lain. Aturan perkalian khusus: P(A dan B) = P(A)P(B)

30. Contoh 6 Budi punya dua saham, IBM dan General Electric (GE). Probabilitas kenaikan harga saham IBM pada tahun depan adalah 0.5 sedangkan untuk GE, 0.7. Anggap kedua saham independen. Berapa probabilitas harga kedua saham tsb naik? Chap 5- 30 P(IBM and GE) = (.5)(.7) = .35.

31. Chap 5- 31 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas Bersyarat (Conditional probability) adalah probabilitas muculnya suatu kejadian , apabila diketahui kejadian lain telah terjadi sebelumnya. Probabilitas kejadian A setelah kejadian B terjadi ditulis P(A|B). P(Perempuan | Manajemen) P(Bayi perempuan | Hasil USG perempuan)

32. Chap 5- 32 Aturan Perkalian Umum Aturan Perkalian Umum digunakan untuk menentukan probabilitas gabungan dari dua kejadian. Tentunya dua kejadian yang tidak saling bebas. Aturan ini menyatakan untuk dua kejadian A dan B, probabilitas gabungan kedua kejadian diperoleh dengan mengkalikan probabilitas A dengan probabilitas bersyarat dari B setelah A terjadi.

33. Chap 5- 33 Aturan Perkalian Umum Probabiltas gabungan, P(A dan B): P(A dan B) = P(A)P(B/A) atau P(A dan B) = P(B)P(A/B) P (hasil test perempuan dan lahir perempuan) = P(lahir perempuan) * P(hasil test perempuan| lahir perempuan) P (test USG laki-laki dan lahir laki-laki) = P(lahir laki-laki) * P(test USG perempuan| lahir laki-laki)

34. Contoh 7 Dekan FE mengumpulkan informasi mahasiswa S1 di fakultasnya: Chap 5- 34 Jurusan Lk Pr Total Akuntansi 170 110 280 Keuangan 120 100 220 Pemasaran 160 70 230 Manajemen 150 120 270 Total 600 400 1000

35. Chap 5- 35 Contoh 7 continued Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapakah probabilitas bahwa mahasiswa tsb adalah perempuan (F) jurusan akuntansi (A) Jurusan Lk Pr Total Akuntansi 170 110 280 Keuangan 120 100 220 Pemasaran 160 70 230 Manajemen 150 120 270 Total 600 400 1000 Jika mahasiswa tsb perempuan, berapa probabilitas mahasiswa tersebut dari jurusan Akuntansi? Pendekatan 1: P(F dan A) = P(F)* P(A|F) = [400/1000]*[110/400] = 0.11

36. Diagram Pohon (Tree Diagrams) Diagram Pohon adalah grafik yang berguna untuk menggambarkan probabilitas bersyarat dan probabilitas gabungan, yang tersusun dalam beberapa tahap perhitungan. Contoh 8: Dalam tas berisi 7 bola merah dan 5 bola biru, Anda mengambil 2 bola secara berurutan dengan tidak memasukkan kembali bola yang telah diambil. Susun diagram pohon dari informasi tsb. Chap 5- 36

37. Chap 5- 37 Contoh 8 continued M1 B1 M2 B2 M2 B2 7/12 5/12 6/11 5/11 7/11 4/11

38. Diagram pohon menggambarkan dengan jelas hubungan antara probabilitas gabungan dan probabilitas bersyarat. Anggap A (B) adalah kejadian bola merah pada pengambilan pertama (kedua). Chap 5- 38 Contoh 8 continued M1 B1 M2 B2 M2 B2 5/12 5/11 7/11 4/11 P(B|A) = 6/11 P(A) = 7/12 P(A dan B) = P(A)*P(B|A) = 6/11 * 7/12 7/12 6/11

39. i i ( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | ) Chap 5- 39 Bayes’s Rule Allows computation of an unknown conditional probability, P(B|A), by converting it to a known conditional probability, P(A|B) For k mutually exclusive events, ( | ) ( ) ( | ) 1 1 2 2 i k k P B A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B = + + +

40. Bayes’s Rule Example A company manufactures mp3 players at two factories. Factory I produces 60% of the mp3 players and Factory II produces 40%. Two percent of the mp3 players produced at Factory I are defective, while 1% of Factory II’s are defective. An mp3 player is selected at random and found to be defective. What is the probability it came from Factory I? Chap 5- 40

41. = = = Chap 5- 41 Bayes’s Rule Example FFaaccttoorr P(I) = .6 yy II FFaaccttoorr yy IIII P(D|I) = .02 P(G|I) = .98 P(II) = .4 P(D|II) = .01 P(G|II) = .99 DDeeffeeccttii vvee GGoooodd DDeeffeeccttii vvee GGoooodd P I D P I P D I ( | ) ( ) ( | ) .6*.02 .75 P I P D I P II P D II + + ( ) ( | ) ( ) ( | ) .6*.02 .4*.01

42. Chap 5- 42 Prinsip-prinsip Menghitung Rumus Perkalian menyatakan bahwa jika ada m cara untuk melakukan suatu hal dan n cara untuk melakukan hal yang lain, maka ada m x n cara untuk melakukan keduanya. Jumlah total susunan= (m)(n) Contoh 10: Budi punya 10 baju dan 8 dasi. Berapa pasangan baju dan dasi yang dimiliki? (10)(8) = 80

43. Prinsip-prinsip Menghitung Permutasi susunan apapun dari r objek yang dipilih dari sekelompok n objek yang ada. Note: urutan susunan diperhatikan dalam permutasi, a b c berbeda dengan b a c. Chap 5- 43 P n! n r - (n r)! =

44. Prinsip-prinsip Menghitung Kombinasi adalah jumlah dari cara memilih r objek dari sekelompok n objek tanpa memperhatikan susunannya. Chap 5- 44 C n! n r - r!(n r)! =

45. Contoh 11 Ada 12 pemain di tim basket di FE unair. Pelatih harus memilih lima pemain di antara dua belas pemain tsb untuk bermain di kuarter pertama. Ada berapa banyak kelompok yang berbeda? Chap 5- 45 792 C 12! 12 5 = 5!(12 - 5)! =

46. Contoh 11 continued Misalkan bahwa selain memilih grup pemain, Pelatih juga harus mengurutkan peringkat masing-masing pemain dalam lineup awal sesuai dengan kemampuan mereka. Chap 5- 46 95,040 P 12! 12 5 = (12 - 5)! =

47. Chap 5- 47 Learning exercise 1: University Demographics  Current enrollments by college and by sex appear in the following table. College Ag-For Arts-Sci Bus- Econ Educ Engr Law Undec l Totals Female 500 1500 400 1000 200 100 800 4500 Male 900 1200 500 500 1300 200 900 5500 Totals 1400 2700 900 1500 1500 300 1700 10000  If I select a student at random, answer the following:  Find P(Female or Male)  Find P(not-Ag-For)  Find P(Female |BusEcon)  Find P(Male and Arts-Sci)  Are “Female” and “Educ” Statistical independent? Why or Why not?

48. Chap 5- 48 Learning exercise 1: University Demographics College Ag-For Arts-Sci Bus- Econ Educ Engr Law Undec l Totals Female 500 1500 400 1000 200 100 800 4500 Male 900 1200 500 500 1300 200 900 5500 Totals 1400 2700 900 1500 1500 300 1700 10000 P(Female or Male) =(4500 + 5500)/10000 = 1 P(not-Ag-For) =(10000 – 1400) /10000 = 0.86 P(Female | Bus Econ) = 400 /900 = 0.44 P(Male and Arts-Sci) =1200 /10000 = 0.12 Are Female and Educ Statistical NO! Pin(fdeempaelned aenndt? E duc)=1000 /10000 = 0.1 P(female)=4500 /10000 = 0.45 P(Educ) =1500 /10000 = 0.15 P(female and Educ)> P(female)*P(Educ) = 0.0675

49. Chap 5- 49 Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies  Many couples take advantage of ultrasound exams to determine the sex of their baby before it is born. Some couples prefer not to know beforehand. In any case, ultrasound examination is not always accurate. About 1 in 5 predictions are wrong. In one medical group, the proportion of girls correctly identified is 9 out of 10 and the number of boys correctly identified is 3 out of 4. The proportion of girls born is 48 out of 100. What is the probability that a baby predicted to be a girl actually turns out to be a girl? Formally, find P(girl | test says girl).

50. Chap 5- 50 Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies  P(girl | test says girl) In one medical group, the proportion of girls correctly identified is 9 out of 10 and the number of boys correctly identified is 3 out of 4. The proportion of girls born is 48 out of 100.  Think about the next 1000 births handled by this medical group.  480 = 1000*0.48 are girls  520 = 1000*0.52 are boys  Of the girls, 432 (=480*0.9) tests indicate that they are girls.  Of the boys, 130 (=520*0.25) tests indicate that they are girls.  In total, 562 (=432+130) tests indicate girls. Out of these 462 babies, 432 are girls.  Thus P(girl | test says girl ) = 432/562 = 0.769

51. 1000*[P(girls)*P(test says girls|girls) + P(boys)*P(test says girls|boys)] Chap 5- 51 Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies  480 = 1000*0.48 are girls 1000*P(girls)  520 = 1000*0.52 are boys 1000*P(boys)  Of the girls, 432 (=480*0.9) tests indicate that they are girls. 1000*P(girls)*P(test says girls|girls)  Of the boys, 130 (=520*0.25) tests indicate that they are girls. 1000*P(boys)*P(test says girls | boys)  In total, 562 tests indicate girls.  Out of these 562 babies, 432 are girls.  Thus P(girls | test syas girls ) = 432/562 = 0.769 1000*P(girls)*P(test says girls|girls) 1000*[P(girls)*P(test says girls|girls) + P(boys)*P(test says girls|boys)]