Distribusi Geometrik & Distribusi Poisson

Distribusi geometrik adalah model yang tepat jika asumsi berikut ini benar.

Fenomena yang dimodelkan merupakan rangkaian percobaan independen.

Hanya ada dua hasil yang mungkin untuk setiap percobaan, sering kali disebut sukses atau gagal.

Probabilitas keberhasilan, p, adalah sama untuk setiap percobaan.

Jika kondisi ini benar, maka variabel acak geometrik Y adalah jumlah kegagalan sebelum keberhasilan pertama. Banyaknya kemungkinan kegagalan sebelum keberhasilan pertama adalah 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Dalam grafik di atas, formulasi ini ditunjukkan di sebelah kanan.

Formulasi alternatifnya adalah bahwa peubah acak geometrik X adalah jumlah total percobaan sampai dan termasuk keberhasilan pertama, dan jumlah kegagalan adalah X 1. Pada grafik di atas, formulasi ini ditunjukkan di sebelah kiri.

Contoh hasil probabilitas Sunting

Rumus umum untuk menghitung peluang k kegagalan sebelum keberhasilan pertama, di mana peluang keberhasilan adalah p dan peluang kegagalan adalah q = 1 p , adalah

{\displaystyle \Pr(Y=k)=q^{k}\,hal.}\Pr(Y=k)=q^{k}\,p.

untuk k = 0, 1, 2, 3, ....

E1) Seorang dokter sedang mencari antidepresan untuk pasien yang baru didiagnosis. Misalkan, dari obat antidepresan yang tersedia, probabilitas bahwa obat tertentu akan efektif untuk pasien tertentu adalah p = 0,6. Berapa peluang obat pertama yang terbukti efektif untuk pasien ini adalah obat pertama yang dicoba, obat kedua yang dicoba, dan seterusnya? Berapa jumlah obat yang diharapkan yang akan dicoba untuk menemukan obat yang efektif?

Probabilitas obat pertama bekerja. Tidak ada kegagalan sebelum kesuksesan pertama. Y = 0 kegagalan. Probabilitas P (nol kegagalan sebelum keberhasilan pertama) hanyalah probabilitas bahwa obat pertama bekerja.

{\displaystyle \Pr(Y=0)=q^{0}\,p\ =0,4^{0}\times 0,6=1\times 0,6=0,6.}{\displaystyle \Pr(Y=0)=q^{0}\,p\ =0.4^{0}\times 0.6=1\times 0.6=0.6.}

Probabilitas bahwa obat pertama gagal, tetapi obat kedua bekerja. Ada satu kegagalan sebelum kesuksesan pertama. Y = 1 kegagalan. Probabilitas untuk urutan kejadian ini adalah P (obat pertama gagal){\displaystyle \times } \times p(obat kedua berhasil), yang diberikan oleh

{\displaystyle \Pr(Y=1)=q^{1}\,p\ =0,4^{1}\times 0,6=0,4\times 0,6=0,24.}{\displaystyle \Pr(Y=1)=q^{1}\,p\ =0.4^{1}\times 0.6=0.4\times 0.6=0.24.}

Peluang obat pertama gagal, obat kedua gagal, tetapi obat ketiga berhasil. Ada dua kegagalan sebelum kesuksesan pertama. Y = 2 kegagalan. Probabilitas untuk urutan kejadian ini adalah P (obat pertama gagal){\displaystyle \times } \times p (obat kedua gagal) {\displaystyle \times }\times P (obat ketiga berhasil)

{\displaystyle \Pr(Y=2)=q^{2}\,p,=0,4^{2}\times 0,6=0,096.}{\displaystyle \Pr(Y=2)=q^{2}\,p,=0.4^{2}\times 0.6=0.096.}

E2) Sepasang pengantin baru berencana memiliki anak dan akan terus berlanjut hingga anak perempuan pertama. Berapa peluang bahwa ada nol anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama, satu anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama, dua anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama, dan seterusnya?

Peluang memiliki anak perempuan (berhasil) adalah p= 0,5 dan peluang memiliki anak laki-laki (gagal) adalah q = 1 p = 0,5.

Peluang tidak ada anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama adalah

{\displaystyle \Pr(Y=0)=q^{0}\,p\ =0,5^{0}\times 0,5=1\kali 0,5=0,5.}{\displaystyle \Pr(Y=0)=q^{0}\,p\ =0.5^{0}\times 0.5=1\times 0.5=0.5.}

Peluang muncul satu anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama adalah

{\displaystyle \Pr(Y=1)=q^{1}\,p\ =0.5^{1}\times 0.5=0.5\times 0.5=0.25.}{\displaystyle \Pr(Y=1)=q^{1}\,p\ =0.5^{1}\times 0.5=0.5\times 0.5=0.25.}

Peluang munculnya dua anak laki-laki sebelum anak perempuan pertama adalah

{\displaystyle \Pr(Y=2)=q^{2}\,p\ =0,5^{2}\times 0,5=0,125.}{\displaystyle \Pr(Y=2)=q^{2}\,p\ =0.5^{2}\times 0.5=0.125.}

dan seterusnya.

Distribusi poisson Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah {\displaystyle \lambda }{\displaystyle \lambda }, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

{\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\,\!}{\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\,\!}

dimana

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)

k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa — peluang yang diberikan oleh fungsi ini

k! adalah faktorial dari k

λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi Poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.