Distributions & Standard Normal Distributions

Untuk mempelajari apa itu variabel acak normal standar.

Untuk mempelajari cara menghitung probabilitas yang terkait dengan variabel acak normal standar.

Definisi: variabel acak normal standar

Sebuah variabel acak normal standar adalah variabel acak terdistribusi normal dengan mean \ (\ mu = 0 \) dan standar deviasi \ (\ sigma = 1 \). Itu akan selalu dilambangkan dengan huruf \(Z\). μ=0 dan simpangan baku σ=1 . Itu akan selalu dilambangkan dengan huruf Z .

Fungsi kepadatan untuk variabel acak normal standar ditunjukkan pada Gambar \(\PageIndex{1}\). 5.2.1 .

alt

Gambar \(\PageIndex{1}\): Kurva Kepadatan untuk Variabel Acak Normal Standar 5.2.1 : Kurva Kepadatan untuk Variabel Acak Normal Standar

Untuk menghitung probabilitas untuk \(Z\) kita tidak akan bekerja dengan fungsi densitasnya secara langsung melainkan membaca probabilitas dari Gambar \(\PageIndex{2}\). Tabel adalah tabel probabilitas kumulatif ; entri mereka adalah probabilitas dari bentuk \(P(Z< z)\). Penggunaan tabel akan dijelaskan dengan rangkaian contoh berikut. Z kami tidak akan bekerja dengan fungsi kepadatannya secara langsung melainkan membaca probabilitas dari Gambar 5.2.2 . Tabel adalah tabel dari P(Z<z) . Penggunaan tabel akan dijelaskan dengan rangkaian contoh berikut.

altalt

Gambar \(\PageIndex{2}\): Probabilitas Normal Kumulatif 5.2.2 : Probabilitas Normal Kumulatif

Contoh \(\PageIndex{1}\) 5.2.1 

Temukan probabilitas yang ditunjukkan, di mana seperti biasa \(Z\) menunjukkan variabel acak normal standar. Z menunjukkan variabel acak normal standar.

P(Z<1.48) .

P(Z<−0.25) .

Solusi :

Gambar \(\PageIndex{3}\) menunjukkan bagaimana probabilitas ini dibaca langsung dari tabel tanpa memerlukan perhitungan apa pun. Digit di tempat satu dan persepuluh dari \(1.48\), yaitu \(1.4\), digunakan untuk memilih baris tabel yang sesuai; bagian keseratus dari \(1.48\), yaitu \(0.08\), digunakan untuk memilih kolom tabel yang sesuai. Empat angka desimal di bagian dalam tabel yang terletak pada perpotongan baris dan kolom yang dipilih, \(0.9306\), adalah peluang yang dicari: 5.2.3 menunjukkan bagaimana probabilitas ini dibaca langsung dari tabel tanpa memerlukan perhitungan apa pun. Angka-angka di tempat satu dan persepuluh dari 1.48 , yaitu 1.4 , digunakan untuk memilih baris tabel yang sesuai; bagian keseratus dari 1.48 , yaitu 0.08 , digunakan untuk memilih kolom tabel yang sesuai. Empat angka desimal di bagian dalam tabel yang terletak di persimpangan baris dan kolom yang dipilih, 0.9306 , is the probability sought:

P(Z<1.48)=0.9306(5.2.1)

alt

Gambar : Menghitung Probabilitas Menggunakan Tabel Kumulatif 5.2.3 

Tanda minus di tidak membuat perbedaan dalam prosedur; tabel digunakan dengan cara yang sama persis seperti pada bagian (a): peluang yang dicari adalah angka yang berada pada perpotongan baris dengan heading dan kolom dengan heading , yaitu angka . Jadi . −0.25 −0.2 0.05 0.4013 P(Z<−0.25)=0.4013 

Contoh 5.2.2 

Temukan probabilitas yang ditunjukkan.

P(Z>1.60) .

P(Z>−1.02) .

Solusi :

Karena kejadian dan saling melengkapi, Aturan Peluang untuk Komplemen menyiratkan bahwa Karena penyertaan titik akhir tidak membuat perbedaan untuk variabel acak kontinu , , yang kita ketahui bagaimana mencarinya dari tabel di Figur . Angka pada baris dengan heading dan pada kolom dengan heading adalah . Dengan demikian Z>1.60 Z≤1.60 

P(Z>1.60)=1−P(Z≤1.60)(5.2.2)

Z P(Z≤1.60)=P(Z<1.60) 5.2.2 1.6 0.00 0.9452 P(Z<1.60)=0.9452 jadi Gambar mengilustrasikan ide secara geometris. Karena luas total di bawah kurva adalah dan luas daerah di sebelah kiri adalah (dari tabel) , maka luas daerah di sebelah kanan harus

P(Z>1.60)=1−P(Z≤1.60)=1−0.9452=0.0548(5.2.3)

5.2.4 1 1.60 0.9452 1.60 1−0.9452=0.0548 .

alt

Gambar : Menghitung Probabilitas untuk Setengah Garis Kanan 5.2.4 

Tanda minus di tidak membuat perbedaan dalam prosedur; tabel digunakan dengan cara yang persis sama seperti pada bagian (a). Angka pada perpotongan baris dengan heading dan kolom dengan heading adalah . Ini berarti bahwa . Jadi −1.02 −1.0 0.02 0.1539 P(Z<−1.02)=P(Z≤−1.02)=0.1539 

P(Z>−1.02)=P(Z≤−1.02)=1−0.1539=0.8461(5.2.4)

Contoh 5.2.3 

Temukan probabilitas yang ditunjukkan.

P(0.5<Z<1.57) .

P(−2.55<Z<0.09) .

Solusi :

Gambar mengilustrasikan ide-ide yang terlibat untuk interval jenis ini. Pertama cari area dalam tabel yang sesuai dengan angka (yang kami anggap sebagai untuk menggunakan tabel) dan . Kami memperoleh masing-masing dan . Dari gambar terlihat bahwa kita harus mengambil selisih dari kedua bilangan tersebut untuk mendapatkan peluang yang diinginkan. Dalam simbol, 5.2.5 0.5 0.50 1.57 0.6915 0.9418 

P(0.5<Z<1.57)=P(Z<1.57)−P(Z<0.50)=0.9418−0.6915=0.2503(5.2.5)

alt

Gambar : Menghitung Probabilitas untuk Interval Panjang Hingga 5.2.5 

Prosedur untuk menemukan probabilitas bahwa mengambil nilai dalam interval hingga yang titik-titik ujungnya memiliki tanda yang berlawanan persis sama dengan prosedur yang digunakan dalam bagian (a), dan diilustrasikan pada Gambar "Menghitung Peluang untuk Interval dari Panjang Terhingga". Dalam simbol, perhitungannya adalah Z 5.2.6 

P(−2.55<Z<0.09)=P(Z<0.09)−P(Z<−2.55)=0.5359−0.0054=0.5305(5.2.6)

alt

Gambar : Menghitung Probabilitas untuk Interval Panjang Hingga 5.2.6